Prawo Laffera

O podatkach, bogactwie i wolności

Poszukiwanie matematycznej postaci krzywej Laffera

Matematyczna postać funkcji Krzywej LafferaKrzywa Laffera jest odzwierciedleniem zachowań gospodarki w odpowiedzi na nadmierną wysokość stawek podatkowych. Skutek tych zachowań nazywamy efektem Laffera, który polega na zmniejszaniu się wpływów podatkowych W do budżetu, gdy wielkość stawki podatkowej x przekroczy pewną wartość krytyczną.

Problem z Krzywą Laffera polega na tym, że jej kształt jest określony teoretycznie i dość ogólnie. Wiemy bowiem, że wpływy podatkowe W muszą być zerowe dla stopy podatkowej x=0 oraz x=100 (%), z czego wynika, że gdzieś pomiędzy 0% a 100% musi istnieć pewne maksimum (xmax). Nie możemy jednak określić wartości x, dla której to maksimum wystąpi, gdyż nie znamy matematycznej postaci funkcji W(x), która mogłaby opisywać Krzywą Laffera.

Możemy co najwyżej udowodnić (twierdzenie Rolle'a), że takie maksimum w ogóle istnieje. Innymi słowy, możemy udowodnić, że na pewno istnieje stawka podatkowa x zapewniająca maksymalne wpływy podatkowe, ale za bardzo nie jesteśmy w stanie określić wielkości tej stawki.

Powstaje nawet pytanie, czy wyznaczenie takiej funkcji jest w ogóle możliwe? Czy można w sposób matematyczny opisać zachowania wszystkich podatników? Postaram się w tym artykule taką funkcję przedstawić, co mam nadzieję ułatwi nam również przy okazji zrozumieć kilka ważnych zjawisk związanych z gospodarką.

W(x) jako funkcja liniowa

Załóżmy na moment, że istnienie efektu Laffera nie jest prawdą, czyli że wielkość wpływów budżetowych W z tytułu jakiegoś podatku jest zawsze iloczynem stopy podatkowej x oraz pewnej stałej podstawy do opodatkowania P, co można przedstawić w formie poniższej funkcji liniowej:

Funkcja krzywej Laffera

Krzywa Laffera - funkcja liniowaMaksymalne wpływy podatkowe W zostałyby osiągnięte przy stawce podatkowej x=100%, co oznaczałoby, że cała podstawa do opodatkowania byłaby przekazana państwu. Gdyby P było wynagrodzeniem pracownika, a x stawką podatku dochodowego, to całe to wynagrodzenie byłoby pracownikowi odebrane. Taka sytuacja jest oczywiście w przez podatnika nie do zaakceptowania.

W(x) jako funkcja nieliniowa

Oczywiste jest, że jeśli wszyscy zapłacą podatek rzędu 100%, to na drugi dzień nikt nie pójdzie już do pracy, gdyż nikt nie podejmie się pracy, jeśli całą uzyskaną pensję będzie musiał oddać do dyspozycji państwa. Funkcja W(x) dla x=100% będzie musiała przyjąć wartość zero, gdyż zerowa będzie podstawa do opodatkowania P. Dowodzi to temu, że funkcja W(x) nie może być funkcją liniową i wskazuje tym samym, że współczynnik P zmniejsza się wraz ze wzrostem x, czyli jest funkcją P(x) malejącą do zera.

Funkcja krzywej Laffera

Poniższy wykres przedstawia hipotetyczną postać funkcji P(x) oraz funkcji W(x) będącej wynikiem przemnożenia P(x) przez x:

Krzywa Laffera - funkcja nieliniowa

Indywidualny efekt Laffera

Skupmy się przez chwilę wyłącznie na funkcji P(x), która przedstawia to, jak zmienia się podstawa do opodatkowania wraz ze wzrostem stopy podatkowej x, bo że się zmienia, to wiemy już na pewno. Ludzie zaczynają po prostu unikać płacenia podatków poprzez unikanie wykazywania podstawy do opodatkowania. Objawia się to na różne sposoby. Albo uciekają do szarej strefy albo kombinują z podatkami albo w ogóle zaprzestają pracy albo po prostu emigrują. Z szarą strefą i z kombinowaniem obywateli państwo może jeszcze jakoś walczyć, ale z zaniechaniem pracy czy z emigracją raczej trudno sobie poradzić.

W każdym razie, skoro tak wiele zależy od indywidualnych zachowań podatników, to fakt ten można zapisać w postaci szeregu funkcyjnego:

Wzór Kryzwej Laffera - suma zachowań

Podstawa do opodatkowania P(x) jest sumą funkcji indywidualnych pi(x) czyli indywidualnych podstaw do opodatkowania poszczególnych podatników. N jest liczbą podatników. Im większe będą te podstawy pi(x) oraz im więcej będzie podatników N, tym wartość funkcji P(x) będzie wyższa.

W przypadkach odpowiadających ucieczce podatnika przed fiskusem, funkcja pi(x)=0. Zerowa wartość indywidualnej podstawy do opodatkowania wystąpi z całą pewnością dla x=0 oraz x=100%. Jednak u większości podatników (t.j. z prawdopodobieństwem <1), nastąpi to już dla x<100%, np. przy stawce x równej np. 20% czy 50%, co można określić jako indywidualny efekt Laffera.

Dla każdego podatnika możemy zatem określić indywidualne Krzywe Laffera, które w pewnym przybliżeniem można uznać za funkcje liniowe wi(x), ale określone na wartości x w przedziale od 0 do pewnej wartości granicznej xg, która jest mniejsza od 100%:

Indywidualna Krzywa Laffera - wzrór

Prawdziwą Krzywą Laffera uzyskamy sumując wszystkie powyższe indywidualne funkcje liniowe wi(x). Można to sobie wyobrazić na wykresie, jako sumę wysokości milionów funkcji liniowych (w przedziale od 0 do indywidualnego xg), co da nam w efekcie charakterystyczny nieliniowy kształt Krzywej Laffera. Kształt ten będzie obrazował tym samym statystyczny rozkład różnych funkcji wi(x) odpowiadających zachowaniom poszczególnych podatników.

Czy są inne postacie funkcji?

Czy taki statystyczny rozkład da się przedstawić w jakiejś innej, jeszcze prostszej postaci? Najbardziej pożądane byłoby znalezienie funkcji W(x), jako funkcji ciągłej, dla której moglibyśmy wyznaczyć pierwszą pochodną W'(x) a następnie obliczyć maksimum. W literaturze można znaleźć różne ciekawe sposoby podejścia do tego zagadnienia, ale moim zdaniem nie dają one jakiejś cudownej odpowiedzi.

Bardziej istotne jest według mnie zrozumienie istoty efektu Laffera i tego, że może występować, ale może być przez nas niezauważony. Wymaga to jednak nieco innego spojrzenia na czynniki składowe szeregu funkcyjnego W(x). W dalszej części postaram się przedstawić kilka możliwych dalszych przekształceń funkcji W(x).

Złożoność systemu podatkowego

Model Krzywej Laffera przedstawiany jest zazwyczaj dla podatków ujmowanych jako udział, gdyż tak jest najprościej. Wiemy jednak, że w rzeczywistości podatki mogą być naliczone też w inny sposób. Możemy wyróżnić ogólnie trzy sposoby liczenia podatków:

  1. Podatek liczony jako udział od czegoś, np. jako udział w dochodzie (np. PIT, CIT, ZUS). Może przyjmować wartość od 0% do 100%.
  2. Podatek liczony jako procent doliczany do pewnej płatności, np. podatek konsumpcyjny (VAT, czy akcyza). Może przyjmować wartość od 0% do nieskończoności (np. w cenie beznyzny jest > 100%).
  3. Podatek liczony jako kwota stała (np. minimalny ZUS płacony przez przedsiębiorców).

Większość wpływów podatkowych bazuje na podatkach konsumpcyjnych, co trochę utrudnia nam analizę, ale jak się okazuje, każdy taki podatek pośredni może być przeliczony na podatek "udziałowy". Na podobnej zasadzie, można przeliczyć na "udział" podatki bazujące na kwotach stałych.

Nie przejmujmy się za bardzo tym, w jaki sposób naliczane są podatki i w jakim odbywa się to miejscu. Zawsze jesteśmy w stanie sprowadzić wszystko do pewnej efektywnej stawki podatkowej obliczonej jako udział, czyli stosunek kwoty wszystkich zapłaconych podatków do kwoty, jaką uzyskaliśmy w wyniku wykonania pracy. O tym, jak można wyliczyć taki podatek efektywny można przeczytać na stronie Kalkulator Podatkowy

Kolejnym czynnikiem komplikującym analizę wpływów podatkowych są wzajemne powiązania pomiędzy różnymi rodzajami podatków. Odpowiadają za to priorytety zakupowe konsumentów a także zjawisko przerzucania podatków.  Dokładniej zostało to opisane w artykule "Co to jest prawo Laffera?".

Dochodzimy zatem do przekonania, że model Krzywej Laffera można rozpatrywać dla podatku efektywnego ujmującego wszystkie podatki w sposób całościowy. Czym w takim ujęciu jest zatem podstawa do opodatkowania? Będzie nią po prostu cała gospodarka, to znaczy wszystkie wytwory naszej gospodarki.

Produkty <=> pieniądze

Pieniądze, którymi się posługujemy są tylko narzędziem służącym do podziału tego, co tworzymy w gospodarce. Wpływy budżetowe odzwierciedlają tą część tworzonych dóbr, jaką państwu udało się "wyciągnąć" z gospodarki do swojej dyspozycji, aby obdarować nimi kogoś innego. Z jednej strony są to pracownicy tzw. sfery budżetowej, którzy realizują przeróżne funkcje państwa. Z drugiej strony są to inni obywatele, którzy uzyskują od państwa pewne świadczenia według demokratycznie ustalonych priorytetów (redystrybucja).

P(x) odpowiada tym samym wielkości dóbr tworzonych przez gospodarkę, czyli jest pewną miarą produktywności nas, jako całego społeczeństwa. Przyjęcie w tym wypadku maksymalnej stawki podatkowej x=100% oznaczałoby, że do dyspozycji państwa zostały przekazane wszystkie dobra wytworzone przez gospodarkę. Jeśli zawęzimy P(x) wyłącznie np. do naszych dochodów, to do dyspozycji państwa przekazujemy wtedy cały nasz dochód, czyli wszystkie dobra, jakie kupilibyśmy za naszą pensję. Wiemy już, że wartość funkcji P(x), a tym samym W(x) dla x=100% musi równać się zeru. Stawka x=100% jest możliwa co najwyżej w społeczeństwie złożonym z samych niewolników, którzy swoją pracę wykonują po prostu z przymusu.

To, że powyżej pewnej wartości x, gospodarka zaczyna się kurczyć, jest zatem rzeczą oczywistą.

Produktywność gospodarki

Spójrzmy jeszcze raz na dotychczasową postać naszej funkcji Krzywej Laffera, ale z użyciem nieco innych pojęć:

Funkcja - Krzywa Laffera - podstawa

Argument x jest efektywną stawką podatkową. Wielkość pi jest wkładem każdego uczestnika gospodarki do naszej gospodarki, a N jest liczbą tych uczestników. Im więcej jest uczestników gospodarki (N) i im bardziej są oni produktywni (pi), tym większy jest dobrobyt i tym samym, większa jest podstawa do opodatkowania oraz liczba dóbr do dyspozycji państwa. Wzór ten przedstawia oczywiście te składniki zwiększające nasz dobrobyt, które zostały ujawnione do opodatkowania. Nie znajdą się tam takie efekty naszej pracy, jak np. samodzielne pomalowanie mieszkania, owoce i warzywa z przydomowego ogródka, czy korzyści wynikające z różnego rodzaju prac społecznych. Wszystko to jak najbardziej powiększa przecież nasz dobrobyt.

Istnieją też takie rodzaje pracy, które nie tworzą żadnego dobrobytu. Na przykład praca tych urzędników a także pracowników sektora prywatnego, którzy zostali zatrudnieni do obsługi zbędnych i nonsensownych regulacji nie jest pracą produktywną (pi=0), tzn. nie zwiększa naszego dobrobytu, dlatego tego rodzaju pracy jałowej nie powinno się uwzględniać w powyższym wzorze.

Funkcję P(x) można teraz dalej przekształcać. Nie obejdzie się jednak bez pewnych uproszczeń. Zakładając, że produktywność każdego uczestnika gospodarki jest jednakowa, czyli składniki pi(x) są jednakowe dla wszystkich, wzór na funkcję P(x) przyjmuje postać:

Wielkość Ps odzwierciedla średnią produktywność uczestnika gospodarki, a funkcja N(x) jest nową funkcją, która przedstawia liczbę podatników w zależności od wysokości stopy podatkowej x.

Wpływy budżetowe z tytułu podatków można teraz ująć następująco:

Funkcja Krzywej Laffera - 3

Jeśli przyjęcie założenia, że wszyscy posiadamy jednakową produktywność uznamy jednak za niewłaściwe, wtedy za Ps możemy przyjąć jakąś produktywność elementarną (minimalną) albo potencjalną, a podatników o większej produktywności ująć we wzorze wielokrotnie. Tak naprawdę, nie ma to aż takiego znaczenia. Bardziej istotne jest wyodrębnienie dwóch czynników mających kluczowy wpływ na wielkość podstawy do opodatkowania (gospodarki):

  • N(x) – charakteryzuje chęć podejmowania przez ludzi jakichkolwiek działań w gospodarce,
  • Ps – charakteryzuje potencjalne możliwości gospodarki w zakresie tworzenia dóbr.

Im więcej ludzi pracuje i bardziej ta praca jest produktywna, tym lepiej.

Regulacje i biurokracja

Funkcja N(x) charakteryzuje chęć podejmowania przez ludzi aktywności w gospodarce w zależności od poziomu obciążeń podatkowych x. W przypadku przedsiębiorców wiemy ponadto, że podatki nie są jedynym rodzajem obciążeń, jaki może się im przytrafić. Ważnym, a często kluczowym czynnikiem zniechęcającym ich do podejmowania aktywności gospodarczej są również różnego rodzaju regulacje narzucane przez państwo. Wymagają one wykonania określonej pracy, co angażuje czas i energię przedsiębiorcy. Jest to istotne szczególnie w przypadku małych firm. Sprowadza się to często do konieczności ponoszenia pewnych kosztów, gdyż za dodatkową pracę trzeba komuś zapłacić.

Obciążenia związane z regulacjami mają skutek analogiczny do obciążeń fiskalnych, gdyż każdy rodzaj obciążeń ma swoje granice, powyżej której przestajemy podejmować działania w gospodarce. Funkcja N(x) zaczyna maleć i wpływy podatkowe do budżetu maleją. Widzimy więc, że model Krzywej Laffera warto rozszerzyć poza dziedzinę samych podatków. Jako argument x możemy przyjąć np. stopień obciążeń różnymi wymaganiami narzuconymi przez państwo.

Liczba regulacji ma zresztą pewien związek z wysokością podatków. Im więcej obowiązków powierzamy państwu, tym więcej nas to państwo kosztuje, ale również, tym więcej obszarów naszego życia chce państwo regulować.

Bezrobocie i niskie płace

Przedstawione powyżej zachowania przedsiębiorców mają kluczowy wpływ na bezrobocie. Przedsiębiorców musimy traktować bowiem jako dostawców miejsc pracy. Jeśli znikają przedsiębiorcy, to znikają tym samym miejsca pracy, które dają zarobek innym. Automatycznie maleją wtedy zarobki tych, co są zatrudnieni, gdyż nadmiar podaży rąk do określonej pracy musi skutkować spadkiem ceny, jaką przedsiębiorca płaci za oferowaną pracę.

Nie ma w tym rozumowaniu zresztą nic zaskakującego. Im mniej firm dostarcza dóbr na rynek, tym mniej potrzebnych jest rąk do ich wytworzenia (bezrobocie). Im mniej dóbr jest na rynku, tym mniejsza jest ich ilość do podziału. Skoro środkiem tego podziału są pieniądze, to wynagrodzenia muszą być odczuwane jako niskie. Cudów nie ma.

Wykazaliśmy tym samym, że skutkiem ubocznym towarzyszącym efektowi Laffera jest bezrobocie i niski poziom wynagrodzeń. Czyż nie wygląda to znajomo?

Analiza w czasie

Średnia potencjalna produktywność Ps jest o tyle ważnym parametrem naszej funkcji, że zmienia się w czasie, a konkretnie, rośnie w miarę upływu czasu. Wynika to z ciągłego rozwoju technologicznego, udoskonalania organizacji pracy, czyli krótko mówiąc, z nieustającego rozwoju różnych czynników wytwórczych. Jeden rolnik z XXI wieku jest w stanie dostarczyć do gospodarki wielokrotnie więcej ziaren zbóż, niż jeden rolnik z XVIII wieku. Podobnie rzecz się ma z większością innych profesji, których spora część powstała przecież całkiem niedawno. 

Oprócz czynnika Ps , od czasu (t) możemy uzależnić również funkcję N(x). Ma to sens, ponieważ zmiana stawki podatkowej nie musi od razu wpłynąć na wartość funkcji N(x), gdyż reakcja gospodarki na ten fakt jest zazwyczaj odsunięta w czasie. Przez jakiś czas od momentu podniesienia podatków, podatnicy nadal będą płacić podatek, a dopiero po jakimś czasie część z nich zaniecha podejmowania pracy lub uda się na emigrację. Dopiero za jakiś czas od momentu podniesienia stopy podatkowej albo wprowadzenia jakiegoś zupełnie nowego podatku (lub nowej regulacji), właściciel firmy zamknie interes i przestanie płacić podatki wraz ze swoimi pracownikami. Dopiero za jakiś czas od momentu podniesienia akcyzy na papierosy, powstaną organizacje przestępcze zajmujące się przemytem papierosów. Itd.

Nowa postać funkcji W(x), a właściwie już W(x, t) określającej wpływy budżetowe dodatkowo jeszcze w funkcji czasu t, wygląda następująco:

Funkcja Krzywej Laffera - czas

Dostrzegalność efektu Laffera

Chociaż postać funkcji określonej dla dwóch zmiennych (x, t) jest nieco bardziej skomplikowana, to pozwala nam lepiej wyjaśnić, dlaczego wielu ekonomistów może uważać, że tzw. efekt Laffera po prostu nie istnieje.

Jako że, funkcja W(x) składa się z iloczynu dwóch funkcji N(x, t) oraz Ps(t), gdzie pierwsza funkcja (N) odzwierciedli negatywny wpływ zmiany x dopiero po jakimś czasie t, a druga nasza funkcja (Ps) zwiększa swoją wartość cały czas wraz z upływem czasu (naturalny wzrost produktywności), to ten wzrost zaburza nam dostrzeganie efektu zmniejszania się funkcji N(x, t), czyli de facto efektu Laffera.

Dodatkowo istnieją też inne czynniki zakłócające, które sprawiają, że efekt Laffera jest niedostrzegalny. Jeśli weźmiemy pod uwagę ostatnie lata, to wśród tych czynników można wymienić np. wyższe tempo inwestycji pobudzanych przez państwo (zasilanych oczywiście większym długiem państwa, którego obsługa obciąży niestety budżet w przyszłości), czy większa absorpcja środków unijnych. Również istotnym czynnikiem był znaczny spadek światowych cen ropy naftowej, który ma niewątpliwie korzystny wpływ na całą gospodarkę z uwagi na niższe koszty ponoszonone przez firmy i niższe ceny dóbr końcowych (lekka deflacja). Ta zmiana cen paliw nie zmniejszyła jednak przychodów państwa z tytułu podatku akcyzowego od paliw, gdyż podatek ten naliczany jest kwotowo, a nie procentowo.

Optymalna stawka podatkowa

Efekt Laffera oznacza, że gospodarka rozwija się wolniej, niż jest to w ogóle możliwe. Nawet jeśli efektywna stawka podatkowa dla całej gospodarki znajduje się w punkcie maksimum (xmax), czyli zapewnia najwyższe wpływy do budżetu, to gospodarka rozwija się w tym punkcie wolniej niż w jakimkolwiek innym punkcie po lewej stronie od punktu xmax. Z tego względu, jak opisałem to już wcześniej w artykule "Optymalne opodatkowanie gospodarki", optymalna stawka podatkowa nie powinna być wcale stawką zapewniającą maksymalne wpływy budżetowe na daną chwilę, ale powinna być stawką zapewniającą maksymalny rozwój gospodarki.

Większy rozwój oznacza większe tempo bogacenia się społeczeństwa, co nie tylko zmniejsza bezrobocie oraz liczbę różnych problemów społecznych, które obciążają budżet państwa, ale przede wszystkim oznacza, że po upływie jakiegoś czasu (t), wpływy budżetowe i tak osiągną wyższą kwotę, gdyż wyższa będzie podstawa do opodatkowania.

Zasada, która tutaj obowiązuje jest prosta i oczywista: budżet państwa jest tym bogatszy, im bogatsi są podatnicy. Jeśli ktoś myśli, że ta zależność jest odwrotna, to znaczy, że traktuje podatników jak niewolników.

 

Dodaj komentarz

Twój adres email nie zostanie opublikowany. Pola, których wypełnienie jest wymagane, są oznaczone symbolem *

Nawigacja wpisu